Travailler avec des modèles de probabilité Faits et feuilles de travail

Dans cette leçon, nous développerons un modèle de probabilité et l'utiliser pour trouver des probabilités d'événements. De plus, nous comparerons également les probabilités d'un modèle aux fréquences observées, et même trouverons des probabilités d'événements composés à l'aide de listes organisées, de tableaux et d'arborescences.

Consultez le dossier d'information ci-dessous pour plus d'informations sur l'utilisation des modèles de probabilité ou vous pouvez également télécharger notre pack de feuilles de travail de 28 pages sur l'utilisation des modèles de probabilité à utiliser en classe ou à la maison.

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Faits et informations clés

INTRODUCTION AUX MODÈLES DE PROBABILITÉ

• Une définition formelle de la probabilité commence par un espace d'échantillonnage S, qui est tout ensemble répertoriant tous les résultats possibles d'une expérience ou d'une situation inconnue.
• S = {pluie, neige, clair}
• L'exemple ci-dessus peut être utilisé pour prédire l'avenir de demain. la météo ; ou peut-être que S est l'ensemble de tous les nombres réels positifs, lors de la prédiction du cours de l'action de la semaine prochaine.
• S peut être n'importe quel ensemble, même un ensemble infini. Nous écrivons généralement s pour un élément de S, ce qui signifie s ∈
• Notez que S ne comprend que les éléments qui nous intéressent.
• Un modèle probabiliste consiste en un ensemble non vide appelé l'espace échantillon S ; une collection d'événements qui sont des sous-ensembles de S ; et une mesure de probabilité P attribuant une probabilité comprise entre 0 et 1 à chaque événement, avec P(∅) = 0 et P(S) = 1.
• Pour l'exemple météo, les sous-ensembles {pluie}, {neige}, {pluie, neige},{pluie, clair}, {pluie, neige, clair}, et même l'ensemble vide ∅ = { }, sont tous des exemples de sous-ensembles de S qui pourraient être des événements.
• La virgule utilisée dans ces sous-ensembles représente « ou » ; ainsi {pluie, neige} est le phénomène selon lequel il va pleuvoir ou neiger. Nous supposerons généralement que tous les sous-ensembles de S sont des événements.
• Un modèle probabiliste a besoin d'une mesure de probabilité P. La mesure de probabilité doit affecter, à chaque événement A, une probabilité P(A) ayant les propriétés suivantes :
• P(A) est toujours un nombre réel non négatif, compris entre 0 et 1 inclus
• P(∅) = 0, tel que si A est l'ensemble vide ∅, alors P(A) = 0
• P(S) = 1, tel que si A est l'ensemble de l'espace échantillon S, alors P(A) = 1
• P est (dénombrable) additif, ce qui signifie que si A1, A2, … est une séquence finie d'événements disjoints, alors :
• P(A1 A2 … ) = P(A1) + P(A2) + …
• Étant donné S = {pluie, neige, clair}, la probabilité de pluie est de 40 %, la neige est de 15 % et un temps clair est de 45 %.
• Nous pouvons écrire cela sous la forme P({pluie}) = 0,40, P({neige}) = 0,15 et P = ({clair}) = 0,45.
• Evidemment, P(∅) = 0 puisqu'il est impossible que rien ne se passe par le temps le lendemain. Aussi P({pluie, neige, clair}) = 1 car il y aura exactement un de pluie, neige ou clair qui doit arriver demain.
• Maintenant, quelle est la probabilité qu'il pleuve ou qu'il neige demain ? En utilisant la propriété additive, on peut dire que :
• P({pluie, neige}) = P({pluie}) + P({neige}) = 0,40 + 0,15 = 0,55
• Par conséquent, il y a 55 % de probabilité qu'il pleuve ou qu'il neige demain.
• Supposons que nous lançons une pièce équitable, qui peut donner soit pile (H) soit pile (T) avec une probabilité égale.
• S = {H, T}, avec P(H) = P(T) = 0,5
• Pour vérifier, P(H) + P(T) = 1
• Supposons que nous lançons trois bonnes pièces d'affilée et que nous gardions une trace de la séquence de pile et face qui en résulte.
• S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
• Chacun des huit résultats est également probable. Ainsi, P(HHH) = , P(TTT) = , et ainsi de suite. De plus, la probabilité que la première pièce soit pile et la deuxième pièce pile, mais que la troisième pièce puisse être l'une des deux, est égale à la somme des probabilités des événements HTH et HTT, de sorte que P(HTH) + P(HTT) = + ⅛ = .

PROBABILITÉ D'ÉVÉNEMENTS COMPOSÉS

• Si un événement n'a qu'une seule issue possible, il est appelé événement simple (ou unique). Sinon, l'événement est appelé événement composé.
• Un diagramme en arbre est un dessin avec des « segments de ligne » qui illustre séquentiellement les résultats possibles d'un événement donné.
• Regardez l'arborescence pour le lancer d'une pièce.
• Vous allez au football et aimez être gardien de but, mais cela dépend de qui est l'entraîneur aujourd'hui : (1) avec l'entraîneur Sam, la probabilité d'être gardien de but est de 0,5 ; et (2) avec l'entraîneur Alex, la probabilité d'être gardien de but est de 0,3.
• Coach Sam est généralement disponible, environ 6 matchs sur 10 (une probabilité de 0,6). Alors, quelle est la probabilité que vous soyez gardien de but aujourd'hui ?
• Montrez les deux coachs possibles : Sam ou Alex. La probabilité d'obtenir Sam est de 0,6, donc la probabilité d'obtenir Alex doit être de 0,4. Au total, la probabilité est de 1.
• Maintenant, si vous obtenez Sam, il y a 0,5 probabilité d'être gardien de but (et 0,5 de ne pas être gardien de but):
• Si vous obtenez Alex, il y a 0,3 possibilité d'être gardien de but (et 0,7 de ne pas être gardien de but).
• Puisque le diagramme en arbre est maintenant terminé, résolvons les possibilités globales. Cela se fait en multipliant chaque probabilité le long des 'branches' de l'arbre.
• Sur la droite se trouve la façon dont vous calculez pour la branche « Sam, Yes ».
• Quand Alex est coach, on obtient ces résultats :
• Une chance de 0,4 pour Alex comme entraîneur, suivie d'une chance de 0,3 donne une possibilité de 0,12. Maintenant, nous ajoutons la colonne :
• 3 + 0,12 = 0,42 (42 % de chances) probabilité d'être gardien de but aujourd'hui.
• En utilisant la méthode de la liste organisée, vous listeriez tous les différents résultats possibles qui pourraient se produire. Cela peut être difficile car il y a une forte probabilité que nous oubliions une ou deux options.
• Si vous lancez une pièce et lancez un dé, quelle est la probabilité d'obtenir pile et un nombre pair ?
• Tout d'abord, nous devons commencer par énumérer tous les résultats possibles que nous pourrions obtenir. Notez que H1 signifie retourner une tête et rouler un 1.
• S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4. T5, T6}
• Il y a 12 résultats possibles, et trois de ces résultats donnent le résultat souhaité (queue plus un nombre pair). Ce sont les T2, T4 et T6.
• Par conséquent, la probabilité est : P = 3/12 = 1/4 = 25 %
• Si vous lancez une pièce trois fois, quelle est la probabilité de lancer au moins 2 faces ?
• Maintenant, nous travaillons avec trois événements différents - chaque flip compte comme un événement individuel.
• Retourner 1 H H H H T T T T
• Retourner 2 H H T T H H T T
• Retourner 3 H T H T H T H T
• Il y a 8 résultats différents. Ce sont les plus favorables : HHT, HTH, THH et HHH (au moins 2 têtes incluent le retournement de trois). Donc la probabilité est : P = 4/8 = 50%
• Les modèles de zone peuvent être utilisés pour représenter des probabilités simples. Le chiffre entier représente le nombre total de résultats possibles. La partie ombrée représente les résultats souhaités.
• Si vous lancez une pièce et lancez un dé, quelle est la probabilité d'obtenir pile et un nombre pair ?
• Commencez par créer un tableau avec les résultats d'un événement répertoriés en haut et les résultats du deuxième événement répertoriés sur le côté. Remplissez les cellules du tableau avec les résultats correspondants pour chaque événement. Ombrez les cellules qui correspondent à la probabilité donnée.
• Il y a 12 cellules, dont trois sont ombrées. Donc la probabilité est : P = 3/12 = 1/4 = 25%

Utilisation des feuilles de travail des modèles de probabilité

Il s'agit d'un ensemble fantastique qui comprend tout ce que vous devez savoir sur l'utilisation de modèles de probabilité sur 28 pages détaillées. Ceux-ci sont Fiches d'exercices prêtes à l'emploi Travailler avec des modèles de probabilité qui sont parfaites pour enseigner aux étudiants comment développer un modèle de probabilité et l'utiliser pour trouver des probabilités d'événements. De plus, nous comparerons également les probabilités d'un modèle aux fréquences observées, et même trouverons des probabilités d'événements composés à l'aide de listes organisées, de tableaux et d'arborescences.

Liste complète des feuilles de travail incluses

• Plan de cours
• Travailler avec des modèles de probabilité
• Pièces dans sa poche
• Livres dans une étagère
• Somme de six
• Somme de sept ou neuf
• Avec ou sans répétition
• vêtements dans le placard
• Lancer et retourner
• Création d'événements
• Prendre des risques
• Testez-vous

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jeu facile à jouer à la maison

Utiliser avec n'importe quel programme

Ces feuilles de travail ont été spécialement conçues pour être utilisées avec n'importe quel programme d'études international. Vous pouvez utiliser ces feuilles de travail telles quelles ou les modifier à l'aide de Google Slides pour les rendre plus spécifiques aux niveaux d'aptitude de vos élèves et aux normes du programme d'études.

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